Les gardiens d'une prison promettent de libérer leurs 100 prisonniers tous ensemble s'ils réussissent l'épreuve suivante. Chaque prisonnier est associé à un numéro de 1 à 100. Les gardiens écrivent les numéros sur 100 cartons. Ils placent les cartons au hasard, à raison d'un carton par coffre, dans 100 coffres fermées et alignées dans une grande salle. Les prisonniers sont conduits les uns après les autres dans la salle. Sans savoir ce qu'ont fait les prisonniers précédents, chaque prisonnier doit ouvrir 50 des 100 coffres et y trouver le carton avec son numéro. Les prisonniers ne peuvent déplacer ni les coffres ni les cartons, et doivent refermer les coffres ouverts avant de sortir. L'épreuve n'est réussie que si chaque prisonnier trouve son numéro. Avant que l'épreuve commence, les prisonniers peuvent se concerter pour convenir d'une méthode, mais une fois l'épreuve commencée, ils n'ont plus aucun échange.

Si chacun des prisonniers choisit les 50 boîtes au hasard la probabilité qu'ils réussissent tous serait exactement 0,5100=10-30, ce qui est vraiment très peu ! Ils peuvent faire beaucoup mieux et avoir une probabilité de réussite collective supérieure à 30%. Comment ?

Cette semaine nous ferons une exploration de l’énigme, pour comprendre la solution et nous regarderons quelques variantes. Il y aura des probabilités, des factoriels, des permutations et une intégrale !

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